زمانی كه ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسی كه به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد كه اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است.

دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اول هستند.
جمع چهار رقم تشكیل دهنده آن میشود ۱۹ كه اول است.
جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ میشود كه باز هم عدد اول است.
دو عدد اولیه اگر از هم دیگر كسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته میشود كه باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددی است كه فقط بر یك و خودش تقسیم میشودبنحوی كه نتیجه تقسیم عددی كسری نباشد(خارج تقسیم نداشته باشد)
جمع عددی اعداد تشكیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتیجه برابر ۱۷۲۹ میشود.
این هم یكی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددی دیده نمیشود.
عدد 1729 اولین عددی است كه می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مكعبهای دو عدد مثبت نوشت :

10*10*10=1000

9*9*9=729

12به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 می شود 1729

12*12*12=1728

1*1*1=1

جمعش می شود 1729

و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729 می باشند .(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به كارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.) حال اگر كمی مانند ریاضیدانها عمل كنید باید به دنبال كوچكترین عددی بگردید كه به سه طریق مختلف حاصلجمع مكعبهای دو عدد مثبت است این عدد87539319 می باشد كه در سال 1957توسط لیچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است .

امروزه ریاضیدانان عددی را كه به n طریق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهای دو عدد مثبت باشد ،n ــامین عدد تاكسی می نامند و آنرا با Taxicab نمایش می دهند.جالبتر از همه اینكه ،هاردی و رایت ثابت كردند برای هر عدد طبیعی n ناكوچكتر از 1 ،n ــامین عدد تاكسی وجود دارد !

هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاكسی نیز كشف شده اند ولی تلاشها برای یافتن نهمین عدد تاكسی تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زیادی درباره اعداد تاكسی موجود نیست . در ضمن میتوان مسئله را از راههای دیگر نیز گسترش داد . مثلا همانگونه كه هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود ، این پرسش را مطرح كنید: كوچكترین عددی كه به دوطریق حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد ،كدام است؟ این عدد توسط اویلر یافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توانهای چهارم 133 و 134 می باشد. برای اطلاعات بیشتر در مورد اعداد تاكسی به این منزلگاه رجوع كنید.



منبع:سایت ملاصدرا

آیا می دانید چرا 14 مارس روز عد پی نامگذاری شده است.

این نامگذاری به علت سه رقم اول عدد پی ( یعنی 3.14)میباشد.یعنی روز چهاردهم از سومین ماه میلادی،البته بد نیست بدانیم آلبرت انیشتین هم در این روز چشم به جهان گشود.

 

ریاضى‌دانان همیشه هم به فرمولهاى سخت و پیچیده فكر نمى‌كنند. مثلا نیك سونسون ریاضى‌دان استرالیایى در فكر تهیه نرم‌افزارى براى دوربین‌هاى دیجیتال است كه مانع از قرمز شدن چشم افراد شود.
به گزارش شبكه دویچه وله آلمان ، نیك اسونسون و همكارش پیترس بارنس ریاضى‌دان‌هایى هستند كه محاسبه كرده‌اند چه تعداد عكس باید گرفته شود تا چشم هیچ كدام از افراد درون تصویر قرمز نشود! محاسبه این دو ریاضى‌دان نشان می‌دهد از هر سه نفر یكى چشمش در تصویر قرمز می‌افتد.
البته براى این محاسبه، فرمول جالبى هم ارائه كرده‌اند كه در تهیه نرم‌افزار جدید موثر خواهد بود. نیك سونسون و پیترس بارنس براى این آزمایش ساده و جالب موفق به دریافت جایزه آى جى نوبل (Ig-Nobel) ریاضیات شده‌اند.
آى جى نوبل (یا نوبل از نوع دیگر )جایزه‌اى است كه از شانزده سال پیش توسط دانشگاه هاروارد به ساده‌ترین اما در عین حال خلاق‌ترین طرح‌ علمى اهدا مى‌شود. دانشگاه هاروارد براى اهدا این جایزه معیار جالبى دارد «اول براى خنده بعد براى فكر كردن تشویق كنید.

 


عدد مشهور 3.14 یا همان عدد "پی" در پیچیده ترین حالت عددی خواهد بود که تا کنون دو هزار و 700 بیلیون رقم اعشار برای آن محاسبه شده است اما نشریه نیوساینتیست پنج وجه دیگر این عدد را نیز به مناسبت روز عدد پی آشکار کرده است.

ریاضیدانان هر سال در 14 مارچ روز عدد پی را گرامی می دارند. روزی که به احترام محاسبه اولین اعشار عدد مشهور 3.14 نامگذاری شده است. شاید همه بدانند که عدد پی نسبت محیط دایره به قطر آن را تعیین می کند اما حقایق ناآشناتری درباره این پدیده ریاضی نیز وجود دارد که در ادامه به پنج مورد از آنها اشاره خواهد شد.

عدد پی در آسمان

شاید ستاره های آسمان الهام بخش یونانیان باستان بوده اند اما یونانیان هرگز از این نقاط درخشان برای محاسبه عدد پی استفاده نکرده اند. رابرت ماتیوز از دانشگاه استون به منظور انجام این محاسبه اطلاعات نجومی و اخترشناسی را با نظریه اعداد ترکیب کرد. وی از این حقیقت که برای هر مجموعه بزرگ از اعداد اتفاقی احتمال اینکه هر دو عدد با یکدیگر هیچ وجه مشترکی نداشته باشند، عدد 6 تقسیم بر عدد پی به توان دو خواهد بود، استفاده کرد. ماتیوز فاصله فضایی میان 100 نمونه از درخشانترین ستاره های آسمان را محاسبه کرده و آنها را به یک میلیون جفت از اعداد تصادفی تبدیل کرد که در حدود 61 درصد از آنها هیچ وجه اشتراکی با یکدیگر نداشتند. با این مطالعات ماتیوز توانست مقدار عدد پی را تا 3.12772 محاسبه کند که 99.6 درصد صحیح است.

عدد "پی" مانند رودخانه ها به زمین باز می گردد

عدد پی بر روی زمین نیز فعالیتهایی را به عهده دارد. این عدد می تواند مسیر رودخانه های پیچ در پیچی مانند آمازون را محاسبه کند. میزان پیچ و خم یک رود به واسطه انحراف آن از مسیر مستقیم تا منبع آب رود شرح داده می شود و عدد پی نشان می دهد یک رودخانه متوسط دارای انحراف مسیری در حدود 3.14 است.

"پی" تنها عددی است که الهام بخش ادبیات بوده است

"الکس بلوز" روزنامه نگار در کتاب جدید خود با نام "ماجراجوییهای الکس در سرزمین اعداد" شرح می دهد چگونه عدد پی توانسته است الهام بخش شکلی از نگارش خلاقانه به نام Pilish شود. با استفاده از این شیوه اشعاری نگاشته می شوند که تعداد حروف واژه های متوالی در آن با کمک عدد پی تعیین می شوند. یکی از مشهورترین اشعاری که به این سبک سروده شده است Cadaeic Cadenza نام دارد که توسط "مایک کیث" نوشته شده است. وی در عین حال کتابی 10 هزار کلمه ای را نیز با کمک این تکنیک نگاشته است.

عدد "پی" در اتاق منزل شما

جدیدترین محاسبات مقدار عدد پی را تا دو هزار و 700 بیلیون رقم تعیین کرده اند که آخرین آن سال گذشته توسط "فابریس بلارد" انجام گرفته است. وی برای محاسبه این ارقام از رایانه استفاده کرده است اما می توان با کمک چند سوزن و برگه ای کاغذ خط دار نیز این عدد را به راحتی محاسبه کرد. سوزنها را بر روی کاغذ بیاندازید و میزان درصد سقوط سوزنها بر روی یک خط مستقیم را محاسبه کنید. با کمی دقت پاسخ به دست آمده باید طول سوزن تقسیم بر فاصله میان خطوط باشد که در عدد دو تقسیم بر عدد پی ضرب شده باشد. این فرمول پس از ارائه آن توسط "کامت دو بوفون"  ریاضیدان فرانسوی در سال 1733 به "مسئله سوزن بوفون" شهرت یافته است.  این نظریه در سال 1901 برای اولین بار مورد آزمایش "ماریو لازارینی" قرار گرفت و وی برای محاسبه عدد در حدود سه هزار و 408 سوزن را بر روی کاغذ ریخت تا بتواند مقدار عدد پی را تا 3.1415929 به دست آورد.

اطلاعات بانکی شما در عدد "پی" دیده می شوند

عدد پی عددی بی قاعده است و می تواند برای همیشه امتداد داشته باشد، این به آن معنی است که احتمال یافتن هر نوع عددی در آن وجود خواهد داشت. تاریخ تولد، شماره تلفن و یا حتی جزئیات شماره حسابهای بانکی افراد می توانند خود را در لشگر اعداد و ارقام عدد پی پنهان کرده باشند. در عین حال با استفاده از کدهایی که اعداد را به حروف تبدیل می کند، حتی می توان آثار کامل شکسپیر و یا هر کتاب دیگری که تا کنون نوشته شده است را در میان ارقام عدد پی مشاهده کرد.

مهر

p-adic

 

In mathematics, and chiefly number theory, the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a way different from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of absolute value.

First described by Kurt Hensel in 1897[1], the p-adic numbers were motivated primarily by an attempt to bring the ideas and techniques of power series methods into number theory. Their influence now extends far beyond this. For example, the field of p-adic analysis essentially provides an alternative form of calculus.

More formally, for a given prime p, the field Qp of p-adic numbers is a completion of the rational numbers. The field Qp is also given a topology derived from a metric, which is itself derived from an alternative valuation on the rational numbers. This metric space is complete in the sense that every Cauchy sequence converges to a point in Qp. This is what allows the development of calculus on Qp, and it is the interaction of this analytic and algebraic structure which gives the p-adic number systems their power and utility.

The p in p-adic is a variable and may be replaced with a constant (yielding, for instance, "the 2-adic numbers") or another placeholder variable (for expressions such as "the ℓ-adic numbers").

This section is an informal introduction to p-adic numbers, using examples from the ring of 10-adic numbers. More formal constructions and properties are given below.

In the standard decimal representation, almost all[2] real numbers do not have a terminating decimal representation. For example, 1/3 is represented as a non-terminating decimal as follows

\frac{1}{3}=0.333333\cdots.

Informally, non-terminating decimals are easily understood, because it is clear that a real number can be approximated to any required degree of precision by a terminating decimal. If two decimal expansions differ only after the 10th decimal place, they are quite close to one another; and if they differ only after the 20th decimal place, they are even closer.

10-adic numbers use a similar non-terminating expansion, but with a different concept of "closeness" called a metric. Whereas two decimal expansions are close to one another if they differ by a large negative power of 10, two 10-adic expansions are close if they differ by a large positive power of 10. Thus 3333 and 4333, which differ by 103, are close in the 10-adic metric, and 33333333 and 43333333 are even closer, differing by 107.

In the 10-adic metric, the following sequence of numbers gets closer and closer to −1

9 = − 1 + 10
99 = − 1 + 102
999 = − 1 + 103
9999 = − 1 + 104

and taking this sequence to its limit, we can say (informally) that the 10-adic expansion of −1 is

\dots 9999=-1.\,

In this notation, 10-adic expansions can be extended indefinitely to the left, in contrast to decimal expansions, which can be extended indefinitely to the right. Note that this is not the only way to write p-adic numbers—for alternatives see the Notation section below.

More formally, a 10-adic number can be defined as

\sum_{i=n}^\infty a_i 10^i

where each of the ai is a digit taken from the set {0, 1, …..., 9} and the initial index n may be positive, negative or 0, but must be finite. From this definition, it is clear that positive integers and positive rational numbers with terminating decimal expansions will have terminating 10-adic expansions that are identical to their decimal expansions. Other numbers may have non-terminating 10-adic expansions.

It is possible to define addition, subtraction, and multiplication on 10-adic numbers in a consistent way, so that the 10-adic numbers form a commutative ring. We can create 10-adic expansions for negative numbers as follows

-100 = -1 \times 100 = \dots 9999 \times 100 = \dots 9900
\Rightarrow -35 = -100+65 = \dots 9900 + 65 = \dots 9965
\Rightarrow -\left(3+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-35}{10}= \dfrac{\dots 9965}{10}=\dots 9996.5

and fractions which have non-terminating decimal expansions also have non-terminating 10-adic expansions. For example

\dfrac{10^6-1}{7}=142857;
\dfrac{10^{12}-1}{7}=142857142857;
\dfrac{10^{18}-1}{7}=142857142857142857
\Rightarrow-\dfrac{1}{7}=\dots 142857142857142857
\Rightarrow-\dfrac{6}{7}=\dots 142857142857142857 \times 6 = \dots 857142857142857142
\Rightarrow\dfrac{1}{7} = -\dfrac{6}{7}+1 = \dots 857142857142857143.

Generalizing the last example, we can find a 10-adic expansion for any rational number pq such that q is co-prime to 10; Euler's theorem guarantees that if q is co-prime to 10, then there is an n such that 10n − 1 is a multiple of q.

However, 10-adic numbers have one major drawback. It is possible to find pairs of non-zero 10-adic numbers whose product is 0. In other words, the 10-adic numbers are not a domain because they contain zero divisors[3]. This turns out to be because 10 is a composite number. Fortunately, this problem can be avoided by using a prime number p as the base of the number system instead of 10.

 p-adic expansions

If p is a fixed prime number, then any positive integer can be written in a base p expansion in the form

\sum_{i=0}^n a_i p^i

where the ai are integers in {0, …, p − 1}. For example, the binary expansion of 35 is 1·25 + 0·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20, often written in the shorthand notation 1000112.

The familiar approach to extending this description to the larger domain of the rationals (and, ultimately, to the reals) is to use sums of the form:

\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i.

A definite meaning is given to these sums based on Cauchy sequences, using the absolute value as metric. Thus, for example, 1/3 can be expressed in base 5 as the limit of the sequence 0.1313131313...5. In this formulation, the integers are precisely those numbers for which ai = 0 for all i < 0.

As an alternative, if we extend the base p expansions by allowing infinite sums of the form

\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i

where k is some (not necessarily positive) integer, we obtain the p-adic expansions defining the field Qp of p-adic numbers. Those p-adic numbers for which ai = 0 for all i < 0 are also called the p-adic integers. The p-adic integers form a subring of Qp, denoted Zp. (Not to be confused with the ring of integers modulo p which is also sometimes written Zp. To avoid ambiguity, Z/pZ or Z/(p) are often used to represent the integers modulo p.)

Intuitively, as opposed to p-adic expansions which extend to the right as sums of ever smaller, increasingly negative powers of the base p (as is done for the real numbers as described above), these are numbers whose p-adic expansion to the left are allowed to go on forever. For example, the p-adic expansion of 1/3 in base 5 is …1313132, i.e. the limit of the sequence 2, 32, 132, 3132, 13132, 313132, 1313132,… . Multiplying this infinite sum by 3 in base 5 gives …0000001. As there are no negative powers of 5 in this expansion of 1/3 (i.e. no numbers to the right of the decimal point), we see that 1/3 is a p-adic integer in base 5.

While it is possible to use this approach to rigorously define p-adic numbers and explore their properties, just as in the case of real numbers other approaches are generally preferred. Hence we want to define a notion of infinite sum which makes these expressions meaningful, and this is most easily accomplished by the introduction of the p-adic metric. Two different but equivalent solutions to this problem are presented in the Constructions section below.

 Notation

There are several different conventions for writing p-adic expansions. So far this article has used a notation for p-adic expansions in which powers of p increase from right to left. With this right-to-left notation the 3-adic expansion of 1/5, for example, is written as

\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3.

When performing arithmetic in this notation, digits are carried to the left. It is also possible to write p-adic expansions so that the powers of p increase from left to right, and digits are carried to the right. With this left-to-right notation the 3-adic expansion of 1/5 is

\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.

p-adic expansions may be written with other sets of digits instead of {0, 1, …, p − 1}. For example, the 3-adic expansion of 1/5 can be written using balanced ternary digits {1,0,1} as

\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_3.

In fact any set of p integers which are in distinct residue classes modulo p may be used as p-adic digits. In number theory, Teichmüller digits are sometimes used.

نام یك دانشجوی ۲۶ ساله با كشف بزرگ ترین عدد اول شناخته شده، در تاریخ ریاضیات ماندگار شد. عدد اولی كه اخیراً كشف شد، ۶۳۲۰۴۳۰ رقمی است.این عدد توسط شخصی به نام مایکل شافر در دانشگاه میشیگان این عدد را کشف کرد .به امید این که شما ریاضی دوستان  کاشف عدد اولی بزرگتر از این عدد باشید.

اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن‌ها را به صورت کسری که صورت و

مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است ولی می‌توان اعداد گنگ را روی

محور اعداد نمایش داد كار بسیار ساده ایی است كافی است هندسه را در ریاضیات مورد استفاده قرار دهیم . امتحان

كنیدمیتوان از رابطه فیثاغورث استفاده كرد.
 
 
آیا می دانید عدد بسیار اول به چه عددی می گویند؟

من هم برایم بسیار جالب بود و دوست داشتم شما هم بدونید.

عدد 373 همان عدد مورد نظر است . از هر طرف به آن نگاه كنی عدد اول است. اگر یك رقم یك رقم در نظر بگیریم ،هر رقمی یك عدد اول است. و همینطور اگر دو رقم د و رقم در نظر بگیریم باز هم اعداد اول داریم. و خود عدد هم كه سه رقمی است نیز عددی اول است. پس به این عدد ، عدد بسیار اول می گوئیم .

جالب بود نه؟؟؟؟؟